CARA CEPAT MENCARI AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT

Cara Praktis Menyelesaikan Soal2 Matematika Seri III
Oleh Ikhsan Rizki K
Ikhsan_rizki86@yahoo.com
www.ikhsanrizki.blogspot.com

Banyak sekali soal2 matematika SMA tentang akar-akar persamaan kuadrat baik soal UAN dan terutama soal2 SNMPTN dan UM PTN yang sangat rumit untuk dipecahkan, mungkin ini disebabkan pemahaman konsep materi yang keliru dari siswa itu sendiri. Hal ini bisa dimaklumi karena memang di sekolah tempat mereka belajar sudah ditanamkan dikotomi rumus2 matematika yang harus seperti itu. Tulisan ini akan membedah dan meluruskan pemahaman kita tentang persamaan2 matematika sehingga dapat berguna untuk menyelesaikan soal2 matematika dengan sangat cepat. Dalam seri ini saya akan membahas tentang sifat-sifat yang menarik dari akar-akar Persamaan Kuadrat.

Persamaan Kuadrat diatas mempunyai akar-akar x1 dan x2. Cara mencari akar-akar x1 dan x2 diatas yang paling sering kita gunakan adalah dengan memfaktorkannya atau dengan menggunakan rumus abc. Pemfaktoran adalah cara paling mudah yang sering digunakan.
Sebagai contoh Persamaan Kuadrat
x2 + 3x + 2 = 0 maka faktornya adalah x2 + 3x + 2 = 0
(x+2)(x+1)= 0
Sehingga didapat akar-akarnya x1 = -2 atau x2 = -1
Akan tetapi pemfaktoran dapat mudah digunakan jika persamaan kuadratnya sederhana seperti contoh diatas. Dalam soal2 matematika sering kali dijumpai soal2 persamaan kuadrat yang rumit sehingga sangat sulit untuk dipecahkan. Perhatikan contoh Persamaan Kuadrat berikut :
6x2 - 17x + 12 = 0
Bagaimanakah pemfaktorannya ? Agak susah bukan ?
Kalau kita masih gunakan cara pemfaktoran biasa untuk menyelesaikan soal2 persamaan kuadrat yang rumit tentu akan memakan banyak waktu kalau kita gunakan cara coba2 memasangkan semua kemungkinan yang mungkin.

Perhatikan persamaan kuadrat berikut !
ax2 + bx + c = 0
jika kita kalikan pers diatas dengan a maka akan didapat
a.(ax2 + bx + c) = a.0
a2x2 + a.b x + a.c = 0 (1)
Perhatikan persamaan kuadrat diatas jika diselesaikan dengan pemfaktoran
a2x2 + a.b x + a.c = 0
misal difaktorkan (ax + p)(ax + q) = 0
Sehingga didapat x1 = - (p/a) atau x2 = - (q/a)
Perhatikan bentuk pemfaktoran persamaan kuadrat diatas, seperti berikut
(ax + p)(ax + q) = 0
a2x2 + aq x + ap x + pq = 0
a2x2 + (aq + ap)x + pq = 0 (2)
dari pers (1) dan (2)
a2x2 + a.b x + a.c = 0 dengan a2x2 + (aq + ap)x + pq = 0
a2x2 + a.b x + a.c = a2x2 + (aq + ap)x + pq
dengan menyamakan ruas kiri dengan ruas kanan didapat pers
p.q = a.c dan
a.b = (aq + ap) = a(q + p)
b = (p + q)

Artinya apa ?
Jika dijumpai bentuk persamaan kuadrat yang rumit, yaitu pers kuadrat

akar-akarnya adalah :


Memang jika belum terbiasa maka persamaan diatas sulit untk dikerjakan, tetapi jika dicermati, dalam latihan 5 – 10 soal akan dengan sendirinya menguasai persamaan diatas.

Contoh :
6x2 - 17x + 12 = 0
Maka faktornya
x1 =
atau x2 =
Kelihatanya dengan rumus diatas semakin rumit, tetapi coba perhatikan darimana munculnya angka – 9 dan – 8!
Langkah-langkah mencari akar-akar perasamaan kuadrat :
Dari rumus diatas, akar-akarnya adalah
x1 = atau x2 =
p = . . . .
q = . . . . a.c
b +
Karena dari soal didapat a.c = 72 dan b = -17. Sehingga berubah menjadi
p = . . . .
q = . . . . 72
- 17 +
Kita cari kemungkinan yang memenuhi. Dan akhirnya didapatkan
p = - 9
q = - 8 72
- 17 +
Jadi akhirnya didapat
x1 = atau x2 =

Walaupun kelihatannya rumit tapi dengan menggunakan rumus diatas dapat dicari akar-akar persamaan kuadrat dengan mudah dan tentunya lebih cepat. Mencari akar-akar persamaan kuadrat sering kita jumpai dalam menyelesaikan soal2 matematika terutama dalam menghadapi UAN, SNMPTN maupun UM PTN sekalipun. Jadi dengan menguasai cara cepat mencari akar-akar persamaan kuadrat diatas tentunya sangat membantu siswa dalam mengerjakan soal2 matematika.

Bagaimana pendapat Anda ?
Salam hangat . . . (Ikhsan Rizki : pendiri BBM)

BBM singkatan dari Bimbingan Belajar Mandiri, sebuah grup belajar matematika privat yang siap membantu kesulitan siswa-siswi dalam menyelesaikan soal2 matematika. BBM mengajarkan cara2 cepat dan praktis dalam menyelesaikan soal2 matematika dengan mengembangkan kecerdasan siswa dengan pemahaman konsep materi yang lebih mendalam sehingga siswa dapat dengan mandiri menemukan cara2 cepat dalam menyelesaikan soal2 matematika yang dihadapinya. Bagi pembaca yang berada diwilayah Semarang dapat hub di nomor 085640374283 atau bisa juga email ikhsan_rizki86@yahoo.com.

[+/-] Selengkapnya...

[+/-] Ringkasan...

CARA CEPAT MENYELESAIKAN SOAL2 MATEMATIKA

Seri Barisan dan Deret bag I
Oleh Ikhsan Rizki K
Ikhsan_rizki86@yahoo.com
www.ikhsanrizki.blogspot.com

Banyak sekali soal2 matematika SMA terutama soal2 SNMPTN, UM PTN yang sangat rumit untuk dipecahkan, mungkin ini disebabkan pemahaman konsep materi yang keliru dari siswa itu sendiri. Hal ini bisa dimaklumi karena memang di sekolah tempat mereka belajar sudah ditanamkan dikotomi rumus2 matematika yang harus seperti itu. Tulisan ini akan membedah dan meluruskan pemahaman kita tentang persamaan2 matematika sehingga dapat berguna untuk menyelesaikan soal2 matematika dengan sangat cepat. Dalam seri ini saya akan membahas tentang barisan dan deret Aritmatika.

Bentuk umum :
U1, U2, U3, U4, . . ., Un atau
a, a+b, a+2b, . . .a+(n-1)b
dengan rumus umum suku ke- n adalah :
Un = a+(n-1)b
dengan U1 = a dan beda : b = U2 – U1 = U3 – U2 = Un - Un-1
Sekilas tidak ada yang salah dalam pers diatas. Persamaan diatas memang tidak ada yang salah. Tetapi berbahaya jika siswa hanya diberikan pemahaman yang seperti itu dan terpaksa menelan mentah2 pers dalam barisan aritmatika tersebut. Dari definisi, barisan aritmatika mempunyai selisih tiap suku-sukunya tetap. Jadi bentuk pers :
a, a+b, a+2b, . . .a+(n-1)b (1)
tidaklah mutlak. Artinya bentuk diatas juga bisa dirubah dalam bentuk :
a-2b, a-b, a, a+b, a+2b, . . . (2)
atau mungkin dalam bentuk pers yang lain. Artinya suku pertama atau U1 tidak selalu sama dengan a. Karena yang terpenting adalah selisih tiap suku yang berurutan selalu tetap.
Lalu apa gunanya merubah pers (1) menjadi pers (2) ?
Tentu saja sangat berguna untuk lebih mudah dan cepat menyelesaikan soal2 barisan atau deret aritmatika.
Perhatikan contoh berikut!
• Tiga buah bilangan membentuk barisan aritmatika. Jika jumlah ketiga bilangan adalah 24 dan hasil kalinya adalah 480 maka bilangan yang terbesar adalah. . . .
Penyelesaian :
Jika kita menggunakan pers dasar dari barisan aritmatika maka bil tersbt dapat dimisalkan
a, a+b, a+2b. Jika dijumlah a + a+b + a+2b = 24
3a + 3b = 24
a + b = 8
a = 8 – b . . . (i)
Hasil kalinya a.(a+b).(a+2b) = 480
Substitusi dengan pers (i) menjadi
(8–b).(8-b+b).(8-b+2b) = 480
(8–b).(8).(8+b) = 480
(8–b).(8+b) = 480/8
64 – b2 = 60
b2 = 4
b = ± = ±2
dengan pers (i) dan diambil b = 2 maka :
a = 8 – b = 8 – 2 = 6
jadi bilangan terbesarnya adalah a+2b = 6 + 2.2 = 10
Tapi adakah cara yang lebih mudah dan praktis dalam menyelesaikan soal diatas ?
Tentunya ada.
Kita rubah permisalan ketiga bilangan diatas dari :
a, a+b, a+2b menjadi a-b, a, a+b
jadi jika dijumlahkan didapat a-b + a + a+b = 24
3a = 24
a = 8
Hasil kalinya (a-b).a.(a+b) = 480
(8–b).(8).(8+b) = 480
(8–b).(8+b) = 480/8
64 – b2 = 60
b2 = 4
b = ±2
jadi bilangan terbesarnya adalah a+b = 8 + 2 = 10. lebih cepat bukan!!
Contoh lain :
• Jika adalah suku ke-n deret aritmetika yang memenuhi U5 =1/4 dan , maka ...
Penyelesaian :
Jika kita menggunakan pers dasar dari barisan aritmatika maka bil tersbt dapat dimisalkan
a, a+b, a+2b, a+3b, a+4b. Jika dijumlah a + a+b + a+2b + a+3b + a+4b = 10
5a + 10b = 10
a + 2b = 5 . . . (i)
U5 = a+4b =1/4 . . . (ii)
Dari (i) dan (ii)
a + 4b =1/4
a + 2b = 5 _
2b = - 7/4
b = - 7/8 sehingga didapat a = 15/4
Jadi didapat U3 = a+2b = 15/4 +2(- 7/8) = 2

Tetapi jika kita rubah permisalan ketiga bilangan diatas dari :
a, a+b, a+2b, a+3b, a+4b menjadi a-2b, a-b, a, a+b, a+2b
dan jika dijumlah a-2b + a-b + a + a+b + a+2b = 10
5a = 10 sehingga a = 2
Jadi didapat U3 = a = 2 jauh lebih cepat bukan!!!
Contoh lain :
• Tiga buah bilangan membentuk barisan aritmatika. Jika jumlah ketiga bilangan adalah 75 dan selisih kuadrat bilangan terbesar dan kuadrat bilangan terkecil adalah 700, maka ketiga bilangan itu adalah . . .
Penyelesaian :
Jika kita menggunakan pers dasar dari barisan aritmatika maka bil tersbt dapat dimisalkan
a, a+b, a+2b. Jika dijumlah a + a+b + a+2b = 75
3a + 3b = 75
a + b = 25
a = 25 – b . . . (i)
Selisih kuadaratnya (a+2b)2 – a2 = 700
Tentunya dengan substitusi dengan pers (i) dan asal kita tekun akan ketemu solusi soal diatas. Tapi akan cukup memakan waktu yang tidak sebentar untuk menyelesaikan persamaan diatas, belum juga resiko salah hitung atau kurang teliti. Jadi lebih bijak jika kita rubah permisalan ketiga bilangan diatas menjadi :
a-b, a, a+b
jadi jika dijumlahkan didapat a-b + a + a+b = 75
3a = 75
a = 25
Selisih kuadaratnya (a+b)2 – (a-b)2 = 700
2ab - (-2ab) = 700
4ab = 700
b = 7
jadi ketiga bilangan itu adalah a-b, a, a+b = 18, 25, 32. praktis bukan !!

Walaupun kelihatannya sepele tapi pemahaman kita tentang persamaan barisan aritmatika yang sesungguhnya diatas akan sangat membantu kita dalam menyelesaikan soal2 barisan aritmatika terutama dalam menghadapi UAN, SNMPTN maupun UM PTN sekalipun.

Bagaimana pendapat Anda ?
Salam hangat . . . (Ikhsan Rizki : pendiri BBM)

BBM singkatan dari Bimbingan Belajar Mandiri, sebuah grup belajar matematika privat yang siap membantu kesulitan siswa-siswi dalam menyelesaikan soal2 matematika. BBM mengajarkan cara2 cepat dan praktis dalam menyelesaikan soal2 matematika dengan mengembangkan kecerdasan siswa dengan pemahaman konsep materi yang lebih mendalam sehingga siswa dapat dengan mandiri menemukan cara2 cepat dalam menyelesaikan soal2 matematika yang dihadapinya. Bagi pembaca yang berada diwilayah Semarang dapat hub di nomor 085640374283 atau bisa juga email ikhsan_rizki86@yahoo.com.

[+/-] Selengkapnya...

[+/-] Ringkasan...

CARA CEPAT MENYELESAIKAN SOAL2 MATEMATIKA

Seri Barisan dan Deret bag II
Oleh Ikhsan Rizki K
Ikhsan_rizki86@yahoo.com
www.ikhsanrizki.blogspot.com

Melanjutkan Seri Barisan dan Deret bag I, walaupun kelihatannya sepele tapi pemahaman kita tentang persamaan barisan aritmatika yang lebih fleksibel dan tidak terpaku pada rumus baku akan sangat membantu kita dalam menyelesaikan soal2 barisan aritmatika terutama dalam menghadapi UAN, SNMPTN maupun UM PTN sekalipun. Banyak sekali soal2 matematika SMA terutama soal2 SNMPTN, UM PTN yang sangat rumit untuk dipecahkan, mungkin ini disebabkan pemahaman konsep materi yang keliru dari siswa itu sendiri.

Bentuk umum :
U1, U2, U3, U4, . . ., Un atau
a, a+b, a+2b, . . .a+(n-1)b
dengan rumus umum suku ke- n adalah :
Un = a+(n-1)b
dan rumus umum jumlah dari n suku pertamanya adalah :


dengan U1 = a dan beda : b = U2 – U1 = U3 – U2 = Un - Un-1
Sekilas tidak ada yang salah dalam pers diatas. Persamaan diatas memang tidak ada yang salah. Tetapi berbahaya jika siswa hanya diberikan pemahaman yang seperti itu dan terpaksa menelan mentah2 pers dalam barisan aritmatika tersebut. Rumus suku suku ke- n dan rumus umum jumlah dari n suku pertamanya diatas pertama kali ditemukan oleh Carl F. Gauss pada tahun 1787 M saat dia masih duduk di kelas 3 SD. Artinya rumus-sumus diatas sudah sangat lama bahkan dapat dikatakan kuno. Sekarang permasalahan matematika sudah sangat kompleks, jadi lebih bijak jika kita mulai menemukan pers baru yang dapat lebih mudah dan cepat dalam menyelesaikan soal2 matematika. Dan tentunya tetap menggunakan rumus2 yang sudah ada sebagai dasar kita untuk menemukan pers2 baru. Contoh kecil rumus umum suku ke- n barisan aritmatika diatas dapat kita modif :
Un = a+(n-1)b = a+bn-b
Un = bn + a-b
(1)
Dengan cara yang sama rumus umum jumlah dari n suku pertamanya :

Sn = bn2 + (a - b)n
(2)
Lalu apa gunanya merubah pers diatas ?
Tentu saja sangat berguna untuk lebih mudah dan cepat menyelesaikan soal2 barisan atau deret aritmatika. Dengan persamaan diatas kelihatan bahwa suku ke- n dari barisan aritmatika selalu berbentuk pers linier dan jumlah dari n suku pertamanya selalu berbentuk pers kuadrat. Selain itu dapat langsung kelihatan bahwa beda ( b ) dari barisan aritmatika adalah koefisien n dari pers linier suku ke- n atau Un dan 2 kali koefisien n2 dari pers kuadrat jumlah dari n suku pertama atau Sn.
Perhatikan contoh berikut!
• Jika Un = 4n + 6 menyatakan suku ke-n suatu deret aritmatika maka bedanya adalah...
Penyelesaian :
Un = 4n + 6
U1 = 4.1 + 6 = 10
U2 = 4.2 + 6 = 14
b = U2 - U1
= 14 – 10 = 4
Tetapi jika kita gunakan rumus suku ke- n pers (1) tentunya langsung kelihatan kalau bedanya adalah 4. Ingat beda ( b ) dari barisan aritmatika adalah koefisien n dari pers linier suku ke- n.
• Jika Sn = 4n2 + 6n menyatakan suku ke-n suatu deret aritmatika maka bedanya adalah...
Penyelesaian :
Sn = 4n2 + 6n
S1 = 4.1 + 6.1 = 10
S2 = 4.4 + 6.2 = 28
U2 = S2 – S1 = 28 – 10 = 18
b = U2 – U1 = U2 – S1 (karena U1 = S1)
= 18 – 10
= 8
Tetapi jika kita gunakan rumus umum jumlah dari n suku pertama pada pers (2) tentunya langsung kelihatan kalau bedanya adalah 2.4 = 8. Ingat beda ( b ) dari barisan aritmatika adalah 2 kali koefisien n2 dari pers kuadrat jumlah dari n suku pertama atau Sn. Jauh lebih praktis bukan !!

Hubungan Un dengan Sn
Dari rumus dasar jumlah n suku pertama deret aritmatika

[+/-] Selengkapnya...

[+/-] Ringkasan...